삼각 적분 함수

삼각 적분 함수(Trigonometric integrals)는 특수함수의 하나로, 각각 $\mathrm{Si}(x)$, $\mathrm{Ci}(x)$로 표기하며, 정의는 다음과 같다.

이 함수에 대한 그래프는 아래와 같다.

파일:나무_삼각적분함수_그래프_NEW.png
위 그래프에서 보듯 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Si}(x) = {\pi}/{2}$, $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ci}(x) = 0$이다.

특이하게도 sine, cosine만 적분이 정의되고 그 외의 삼각함수는 적분이 정의되지 않으며, 원본 함수와는 달리 ${\mathrm{Si}(x)}/{\mathrm{Ci}(x)}$를 한다고 탄젠트 적분 함수를 만들 수 있는 것도 아니다.

사인곡선에서 유도되는 함수인 만큼 파동이나 전기적 신호를 다루는 학문에서 널리 쓰인다.

둘 다 대칭함수이다. $\mathrm{Si}(x)$는 홀함수, 실수부를 취한 $\Re(\mathrm{Ci}(x))$는 짝함수이다.[2]

양수 범위에서 ${\rm Si}(x)$는 $x=\pi$에서, ${\rm Ci}(x)$는 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$에서 최댓값을 갖는다.

Wilbraham-Gibbs Constant

위에서 언급한 ${\rm Si}(x)$의 최댓값인 ${\rm Si}(\pi)$는 따로 윌브레이엄-기브스 상수라는 이름이 붙어 있다. 약 $1.851937$ 정도의 값으로, 푸리에 급수의 부산물 중 하나이다. 헨리 윌브레이엄과 조시아 윌러드 깁스가 발견했다.

저 윌브레이엄-기브스 상수에 $\displaystyle \frac{2}{\pi}$를 곱하면 '기브스 상수'[3]라는 또 다른 상수가 된다.